拓扑学

拓扑学是数学中非常重要而且有趣的领域。在这门课程的学习过程中，不仅会了解新的概念和方法，还会和以前学过的知识(如连续函数)结合在一起。但这不足以体现拓扑学的重要，它的重要性在于，它对数学中几乎每一个分支都有明显的影响。如果你想成为数学家，无论你的感兴趣的是代数、分析、还是业务研究或统计，拓扑都会与它们相关。在近代数 学中，拓扑学中的一些概念，比如紧性(compactness)、连通性(connectedness)、稠密性(denseness)，像数学中集合和函数一样基本。

拓扑学有很多不同的分支，有一般拓扑学(或称点集拓扑)，代数拓扑(algebraic topology)，微分拓扑学，拓扑代数（topological algebra）。一般拓扑学则是拓扑的入门课。在本书中，会对一般拓扑学中的基本概念进行详细的讲述。

如果你以前没有学习过像抽象代数这样公理性的数学学科，学习如何证明是很困难的。因此为了帮助你学习如何去证明，在前几章中的证明中会给出一些“旁白”，这些“旁白”并不是证明的一部分，但会把为什么这么证明、思路是怎么产生的进行概述。

书中有很多的习题，只有做了大量练习后才能掌握这门课程。书后并没有给出练习的解答，虽然这么做很不受欢迎，但我还是要这么做。书中已经有足够多的例子和证明，可以帮助你做出题目，所以没有必要再提供额外的解答。在练习中会经常给出一些新的概念，一般来说我会把我认为重要的概念在后面再次提到。

最后，我要说明一点，就是要理解数学中某一内容为什么会产生最好的办法就是去读数学史。可惜的是，本书中并没有充分的阐述。在附录2中提供了一些拓扑 学中著名人物介绍的片段，其中大部分精选于 “The Mac Tutor History of Mathematics Archive”。当然读者们最好还是访问它的网站，参看完整的文章和其他重要人物的介绍。要知道，了解历史参看一份材料是远远不够的。

选译自 Topology Without Tears/ SIDNY A. MORRIS [OCT.14 2007]